Calcul de la diagonale d’un carré et d’un rectangle
MathématiquesChoisissez ce que vous voulez calculer et saisissez les mesures : le calculateur donne la diagonale d’un carré à partir du côté, celle d’un rectangle à partir de ses deux côtés, ou un côté à partir de la diagonale. Il affiche aussi l’aire et le périmètre ; deux tableaux listent les valeurs les plus cherchées.
Détail du calcul
d = 10 × √2 = 14,1421
- La diagonale du carré est le côté multiplié par la racine carrée de 2, soit environ 1,41421356 : 10 × √2 = 14,1421.
- L’aire est de 10² = 100 et le périmètre de 4 × 10 = 40.
Dès que toutes les valeurs sont valides, chaque étape du calcul s’affiche ici.
Formule
- d
- diagonale : le segment qui joint deux sommets opposés
- a, b
- les deux côtés du rectangle (longueur et largeur)
- c
- côté du carré
- A
- aire de la figure
Comment fonctionne le calcul
La diagonale est le segment qui joint deux sommets non consécutifs. Un carré et un rectangle en ont deux, de même longueur. Chacune partage la figure en deux triangles rectangles dont elle est l’hypoténuse : le théorème de Pythagore s’applique donc. Dans un rectangle de côtés a et b, la diagonale vaut d = √(a² + b²). Pour une longueur de 4 et une largeur de 3, d = √(16 + 9) = √25 = 5.
Le carré est un rectangle aux côtés égaux : avec a = b = c, la formule devient d = √(2 · c²) = c × √2, soit environ 1,4142 fois le côté (√2 = 1,41421356…). Un carré de côté 10 a donc une diagonale de 14,1421. Pour faire le calcul inverse, on divise la diagonale par √2, ce qui revient à la multiplier par 0,7071 : une diagonale de 10 donne un côté de 7,0711. Dans un rectangle, si l’on connaît la diagonale et un côté, l’autre côté vaut b = √(d² − a²).
Le calculateur affiche aussi l’aire et le périmètre. Les tableaux donnent les valeurs les plus cherchées : le carré de 4 × 4 a une diagonale de 5,6569, celui de 20 × 20 de 28,2843. Pour d’autres figures et formules, voyez le calcul de l’hypoténuse avec Pythagore, le calcul de surface, le calcul de racine carrée et le calcul de l’aire d’un triangle.
À propos de la formule
La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont deux côtés de la figure. C’est pourquoi l’aire du carré s’écrit aussi d² / 2 : d’après le théorème de Pythagore, d² = c² + c² = 2 · c². Dans un rectangle, les deux diagonales sont égales et se coupent en leur milieu ; dans un carré, elles sont de plus perpendiculaires.
Le nombre √2 est irrationnel : ses décimales sont infinies et sans période, donc, si le côté d’un carré est un entier, la diagonale n’est jamais un entier. Dans un rectangle aux côtés entiers, la diagonale n’est entière que pour certains couples de côtés, les triplets pythagoriciens comme 3, 4 et 5 ; avec des côtés décimaux, c’est possible aussi dans d’autres cas, par exemple 1,8 et 2,4, qui donnent exactement 3. Les calculs utilisent la précision complète et le résultat n’est arrondi à quatre décimales qu’à l’affichage.
Exemple de calcul
Quelle est la diagonale d’un carré de côté 20 ?
- La diagonale est le côté multiplié par √2 : 20 × 1,41421356 = 28,2843.
- Avec Pythagore : 20² + 20² = 400 + 400 = 800, et la racine carrée de 800 est 28,2843.
- L’aire est de 400 et le périmètre de 80. Si les côtés sont en centimètres, la diagonale fait environ 28,28 cm.
Un carré de côté 20 a une diagonale de 28,2843. L’aire est de 400 et le périmètre de 80.
Reprendre l’exemple dans le calculateurQuestions fréquentes
Comment calculer la diagonale d’un carré ?
On multiplie le côté par √2 ≈ 1,4142 : d = c × √2. Un carré de 10 cm de côté a une diagonale de 14,14 cm (14,1421 avec quatre décimales) ; un carré de 60 cm de côté, une diagonale de 84,85 cm. Dans le calculateur, choisissez « Diagonale du carré » et saisissez le côté.
Comment calculer la longueur de la diagonale d’un rectangle avec le théorème de Pythagore ?
On additionne les carrés des deux côtés et l’on extrait la racine carrée : d = √(a² + b²), car la diagonale est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés. Avec une longueur de 4 et une largeur de 3, d = √(16 + 9) = 5. Choisissez « Diagonale du rectangle » dans le calculateur.
Comment calculer la diagonale d’un rectangle 8x4 ?
On calcule d = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 8,9443. Pour une feuille A4 de 21 × 29,7 cm, d = √(441 + 882,09) = 36,37 cm. Saisissez la longueur et la largeur dans le mode « Diagonale du rectangle » pour toute autre mesure.
Quelle est la diagonale d’un carré de 60 cm ?
La diagonale d’un carré de 60 cm de côté mesure 60 × √2 = 84,8528 cm, soit environ 84,85 cm. L’aire est de 3 600 cm² et le périmètre de 240 cm. Doubler le côté double aussi la diagonale : 30 cm donnent 42,43 cm, 60 cm donnent 84,85 cm.
Quelle est la formule pour calculer la diagonale ?
Elle dépend de la figure. Dans un rectangle de côtés a et b, d = √(a² + b²). Dans un carré de côté c, qui est un rectangle avec a = b, d = c × √2, soit environ 1,4142 × c. Les deux viennent du théorème de Pythagore, puisque la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les côtés de la figure.
Quelle est la diagonale d’un carré de 20 sur 20 ?
La diagonale d’un carré de 20 × 20 mesure 20 × √2 = 28,2843, soit environ 28,28 cm si les côtés sont en centimètres. Pour un carré de 30 × 30, c’est 42,4264, soit 42,43 cm, la mesure utile pour poser en diagonale un carreau de 30 × 30 cm. Pour 40 × 40, 56,5685.
Comment calculer la diagonale d’un carré à partir de son aire ?
On double l’aire et l’on prend la racine carrée : d = √(2 · A). Avec une aire de 50, d = √100 = 10 ; avec une aire de 100, d = √200 = 14,1421. La raison est que l’aire vaut aussi d² / 2.
Comment calculer le côté d’un carré à partir de la diagonale ?
On divise la diagonale par √2, c’est-à-dire qu’on la multiplie par 0,7071 : c = d / √2. Pour d = 10, le côté vaut 7,0711 ; pour d = 50, 35,3553. Dans le calculateur, choisissez « Côté du carré » et saisissez la diagonale.
Comment calculer le côté d’un rectangle à partir de la diagonale et d’un côté ?
On retranche le carré du côté connu au carré de la diagonale et l’on extrait la racine carrée : b = √(d² − a²). Pour une diagonale de 10 et un côté de 6, b = √(100 − 36) = 8. La diagonale doit être plus longue que le côté connu, faute de quoi le rectangle n’existe pas.
La diagonale d’un carré est-elle égale à son côté ?
Non, elle est toujours plus longue : elle vaut exactement √2 ≈ 1,4142 fois le côté. C’est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle, et l’hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés.
Les deux diagonales d’un rectangle sont-elles égales ?
Oui : dans un rectangle, les deux diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu, qui est le centre du cercle passant par les quatre sommets. Dans un carré, elles sont en plus perpendiculaires. Un rectangle n’a donc qu’une seule longueur de diagonale.
Quand la diagonale d’un rectangle est-elle un nombre entier ?
Avec des côtés entiers, quand les deux côtés et la diagonale forment un triplet pythagoricien : 3 et 4 donnent 5, 6 et 8 donnent 10, 5 et 12 donnent 13, 8 et 15 donnent 17. Avec des côtés décimaux, c’est possible aussi dans d’autres cas : 1,8 et 2,4 donnent exactement 3. Dans un carré, ce n’est jamais le cas avec un côté entier, car √2 est irrationnel. Pour tester d’autres triplets, utilisez le calcul de l’hypoténuse.
Comment calculer la diagonale d’un écran ?
Avec la formule du rectangle, à partir de la largeur et de la hauteur de l’écran. Un moniteur large de 52,7 cm et haut de 29,6 cm a une diagonale d = √(52,7² + 29,6²) = 60,44 cm, soit 23,8 pouces en divisant par 2,54. Pour passer des centimètres aux pouces, utilisez le convertisseur de pouces en cm.
Ce calculateur donne-t-il la diagonale d’un cube ou d’un pavé ?
Non, il traite les figures planes : le carré et le rectangle. Pour un pavé droit de dimensions a, b et c, la grande diagonale vaut √(a² + b² + c²) ; pour un cube de côté c, c × √3, soit environ 1,7321 × c : 17,3205 pour un côté de 10. De même, la diagonale d’une matrice (ou d’un tableau Excel) n’a rien à voir avec une longueur.
- Euclide, Éléments, livre I, proposition 47 (théorème de Pythagore), édition de D. Joyce (Clark University)
- Théorème de Pythagore (Wikipédia)
- Carré : aire, périmètre et diagonale (Wikipédia)
- Rectangle : les diagonales ont la même longueur (Wikipédia)
- Racine carrée de deux (Wikipédia)
- Triplet pythagoricien (Wikipédia)