Calcul de la racine carrée d’un nombre

Pour un nombre positif x, sa racine carrée est le nombre positif dont le carré est égal à x. On la note √x : √81 = 9 car 9 × 9 = 81. C’est l’opération inverse du carré. Dans les nombres réels, elle n’existe que pour x positif ou nul. Géométriquement, c’est la longueur du côté d’un carré dont l’aire vaut x.

Avec une calculatrice, on utilise la touche √. À la main, on peut reconnaître un carré parfait, décomposer le nombre en facteurs premiers et faire sortir de la racine les facteurs présents deux fois, ou encadrer la racine puis l’affiner avec la méthode de Héron. Ici, saisissez le nombre : le résultat s’affiche avec les étapes.

√42 ≈ 6,4807 (6,48074069…). 42 n’est pas un carré parfait : 6² = 36 est inférieur à 42 et 7² = 49 lui est supérieur, donc la racine est comprise entre 6 et 7. Comme 42 = 2 × 3 × 7 ne contient aucun facteur répété, √42 ne se simplifie pas et son écriture décimale ne s’arrête jamais.

√20 ≈ 4,4721 (4,47213595…). 20 n’est pas un carré parfait : 4² = 16 est inférieur à 20 et 5² = 25 lui est supérieur, donc la racine est comprise entre 4 et 5. Comme 20 = 2² × 5 contient le facteur 2 deux fois, la racine se simplifie : √20 = 2√5.

√60 ≈ 7,7460 (7,74596669…). 60 n’est pas un carré parfait : 7² = 49 est inférieur à 60 et 8² = 64 lui est supérieur, donc la racine est comprise entre 7 et 8. Comme 60 = 2² × 15 contient le facteur 2 deux fois, la racine se simplifie : √60 = 2√15.

12, car 12 × 12 = 144 : 144 est un carré parfait. La décomposition en facteurs premiers donne le même résultat : 144 = 2⁴ × 3², on divise les exposants par 2 et on obtient 2² × 3 = 12.

La méthode de Héron est la plus simple : on part d’une estimation y, on calcule la moyenne de y et de x / y, puis on recommence. Pour √50 en partant de 7 : (7 + 50 / 7) / 2 = 7,0714, puis 7,07107, soit la valeur exacte 7,0710678… arrondie à cinq décimales. On peut aussi encadrer : 7,07² = 49,9849 et 7,08² = 50,1264, donc √50 est compris entre 7,07 et 7,08.

La racine cubique de y est le nombre x tel que x × x × x = y, notée ∛y. Par exemple ∛8 = 2 car 2 × 2 × 2 = 8, et ∛125 = 5. Contrairement à la racine carrée, elle existe aussi pour un nombre négatif : ∛(−27) = −3. Sur une calculatrice, utilisez la touche ∛ ou, pour un nombre positif, la puissance 1/3 ; ce calculateur ne traite que les racines carrées.

Utilisez la fonction RACINE : =RACINE(42) renvoie 6,48074069840786. Vous pouvez aussi écrire =42^(1/2), ou =A1^(1/2) si le nombre se trouve dans la cellule A1. Pour une racine cubique d’un nombre positif, =A1^(1/3). La fonction renvoie une erreur pour un nombre négatif, qui n’a pas de racine carrée réelle.

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… Sa racine carrée est un entier. Son chiffre des unités ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, mais la réciproque est fausse : 21 se termine par 1 sans être un carré parfait. Dans sa décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont pairs.

Elle n’existe pas dans les nombres réels, puisque le carré d’un réel n’est jamais négatif : le calculateur vous prévient si vous saisissez un nombre négatif. Dans les nombres complexes, on définit l’unité imaginaire i, avec i × i = −1, et on écrit √(−4) = 2i.

Oui : il accepte les nombres décimaux, avec une virgule (par exemple 2,5), et les nombres jusqu’à mille milliards, soit 1 000 000 000 000. Le résultat s’affiche avec 2, 4, 6 ou 8 décimales au choix. La limite existe parce que le calcul utilise la double précision, qui offre environ 15 chiffres significatifs.

Une calculatrice donne en général la valeur décimale et rien d’autre. Ici, en plus de la valeur arrondie au nombre de décimales voulu, vous voyez si le nombre est un carré parfait, la partie entière de la racine, les deux carrés parfaits qui l’encadrent, la forme simplifiée (par exemple √50 = 5√2) et les étapes du calcul.

Décomposez le nombre sous la racine en facteurs premiers et sortez de la racine les facteurs présents deux fois : chacun sort une seule fois. Par exemple √72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2. Le calculateur donne la forme simplifiée des nombres entiers, par exemple 5√2 pour 50.

Copiez-le depuis cette page ou, dans Word sous Windows, tapez 221A puis Alt+X : c’est son code Unicode, U+221A. Dans un tableur, le symbole est inutile : la fonction RACINE fait le calcul.

Oui, pour vérifier un résultat ou comprendre un calcul : vous trouvez les étapes, la partie entière et la forme simplifiée. Pour un exercice, refaites le calcul à la main avec l’une des méthodes ci-dessus : l’enseignant attend en général la démarche, pas seulement le nombre.