Calcul d’un triangle : aire, côtés, angles et hauteurs
MathématiquesIndiquez ce que vous connaissez du triangle : trois côtés, deux côtés et l’angle qu’ils forment, ou un côté et ses deux angles. Le calculateur trouve l’aire et complète tous les côtés et angles.
Détail du calcul
A = ½ × 4 × 5 × sin 36,8699° = 6
- Angles par la loi des cosinus, par exemple cos α = (b² + c² − a²) / (2 × b × c) : α = 36,8699°, β = 53,1301° et γ = 90°. Le triangle est rectangle.
- Aire : A = ½ × 4 × 5 × sin 36,8699° = 6. Périmètre : 3 + 4 + 5 = 12.
- Hauteurs, h = 2 × A / côté : relative à a 4, à b 3, à c 2,4.
Dès que toutes les valeurs sont valides, chaque étape du calcul s’affiche ici.
Formule
- a, b, c
- côtés du triangle
- α, β, γ
- angles opposés aux côtés a, b et c, dont la somme vaut 180°
- A
- aire
- ha
- hauteur relative au côté a, distance perpendiculaire entre ce côté et le sommet opposé
Comment fonctionne le calcul
La formule la plus connue pour l’aire d’un triangle est base × hauteur / 2. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé. Un triangle de 6 cm de base et de 4 cm de hauteur a donc une aire de 6 × 4 / 2 = 12 cm². Le calculateur va plus loin : il trouve l’aire même si vous ne connaissez pas la hauteur.
Trois données bien choisies suffisent à définir un triangle. Avec trois côtés, le calculateur trouve les angles par la loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi). Avec deux côtés et l’angle compris entre eux, il calcule d’abord le troisième côté par la même loi. Avec un côté et les deux angles placés à ses extrémités, le troisième angle découle de la somme des angles, 180°, et la loi des sinus donne les deux autres côtés. Il en déduit ensuite l’aire, le périmètre et les trois hauteurs.
Les notations sont celles du cours : le côté a est opposé à l’angle α, b à β et c à γ. Toutes les données ne forment pas un triangle : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres, et deux angles doivent totaliser moins de 180°. Dans ce cas, un message s’affiche à la place du résultat. Pour un cercle, voyez le calcul du cercle ; pour un rectangle ou un trapèze, le calcul de m².
À propos de la formule
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore : si α est un angle droit, cos α vaut zéro et il reste a² = b² + c². La loi des sinus dit que le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est le même pour les trois côtés.
Le calculateur obtient l’aire à partir de deux côtés et de l’angle qu’ils forment, ½ × b × c × sin α. C’est la même valeur que base × hauteur / 2, car c × sin α est justement la hauteur relative au côté b. Les angles sont en degrés ; l’aire est dans l’unité des côtés au carré.
Exemple de calcul
Un triangle de côtés 3, 4 et 5
- Angle γ par la loi des cosinus : cos γ = (3² + 4² − 5²) / (2 × 3 × 4) = 0, donc γ = 90°. Le triangle est rectangle.
- Autres angles : α = 36,8699° et β = 53,1301°.
- Aire : A = ½ × 4 × 5 × sin α = 6, soit aussi 3 × 4 / 2 avec les deux côtés de l’angle droit. Périmètre : 12 ; hauteur relative à c : 2,4.
Le triangle de côtés 3, 4 et 5 a une aire de 6 et il est rectangle.
Reprendre l’exemple dans le calculateurQuestions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un triangle ?
Aire = base × hauteur / 2. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie. Un triangle de 6 cm de base et de 4 cm de hauteur mesure 6 × 4 / 2 = 12 cm². On divise par 2 car le triangle occupe la moitié du rectangle de même base et de même hauteur.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
Multipliez les deux côtés de l’angle droit, puis divisez par 2 : l’un sert de base, l’autre de hauteur. Avec des côtés de 3 cm et 4 cm, l’aire vaut 3 × 4 / 2 = 6 cm². L’hypoténuse, le plus long côté, n’intervient pas.
Comment calculer l’aire d’un triangle isocèle ?
La hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu. Avec une base de 6 cm et deux côtés égaux de 5 cm, la hauteur vaut √(5² − 3²) = 4 cm par Pythagore, et l’aire 6 × 4 / 2 = 12 cm². Ici, choisissez simplement « Trois côtés » et saisissez 6, 5 et 5.
Comment calculer l’aire d’un triangle avec 3 côtés ?
Utilisez la formule de Héron : calculez le demi-périmètre p = (a + b + c) / 2, puis A = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c)). Pour des côtés de 5, 6 et 7 cm : p = 9 et A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14,70 cm². Le mode « Trois côtés » du calculateur fait ce calcul directement.
Comment calculer l’aire d’un triangle en m² ?
Mesurez la base et la hauteur en mètres : le résultat de base × hauteur / 2 est alors en m². Un pignon triangulaire de 8 m de large et 3 m de haut mesure 8 × 3 / 2 = 12 m². Si vos mesures sont en centimètres, divisez l’aire en cm² par 10 000.
Quelle est la formule du triangle pour les angles et les côtés ?
La somme des angles vaut toujours 180°. Pour les côtés, on utilise la loi des cosinus, a² = b² + c² − 2bc × cos α, et la loi des sinus, a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Dans un triangle rectangle, la loi des cosinus devient le théorème de Pythagore : le calcul Pythagore donne alors l’hypoténuse ou le côté manquant et les deux angles aigus.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Vérifiez si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres (réciproque de Pythagore). Avec 3, 4 et 5 : 9 + 16 = 25, le triangle est rectangle. Le calculateur indique le type de triangle d’après son plus grand angle.
Pourquoi les côtés 1, 2 et 3 ne forment-ils pas un triangle ?
Chaque côté doit être strictement plus court que la somme des deux autres : c’est l’inégalité triangulaire. Ici 1 + 2 = 3 exactement, les trois points sont alignés et l’aire serait nulle.
- Triangle (Wikipédia)
- Loi des cosinus (Wikipédia)
- Loi des sinus (Wikipédia)
- Formule de Héron (Wikipédia)