Calcul Pythagore : hypoténuse et côtés d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est l’hypoténuse. On en tire c = √(a² + b²) pour l’hypoténuse, et a = √(c² − b²) ou b = √(c² − a²) pour un côté de l’angle droit. La formule ne vaut que pour un triangle rectangle. Avec a = 6 et b = 8, c = √(36 + 64) = 10 ; avec c = 13 et b = 12, a = √(169 − 144) = 5.

Élevez chaque côté au carré, additionnez les résultats, puis prenez la racine carrée : c = √(a² + b²). Pour a = 6 et b = 8, c = √(36 + 64) = √100 = 10. Dans le calculateur, gardez « Hypoténuse c » comme côté cherché et saisissez a et b.

Oui. Pour résoudre le triangle dans ce sens, choisissez « Côté a » ou « Côté b » comme côté cherché, puis saisissez l’hypoténuse et l’autre côté. Il suffit de résoudre une soustraction de carrés : a = √(c² − b²). Avec c = 13 et b = 12, a = √(169 − 144) = √25 = 5.

Parce que c² = a² + b² dépasse a² comme b² : l’hypoténuse est toujours le côté le plus long. Si vous saisissez une hypoténuse inférieure ou égale au côté connu, le calculateur la rejette avec un message d’erreur, car c² − b² serait négatif ou nul et aucun triangle rectangle n’existe. Avec c = 3 et b = 4, il faudrait la racine carrée de 9 − 16 = −7.

C’est une façon d’obtenir un angle droit sans équerre. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 unités (par exemple 3, 4 et 5 m, ou 60, 80 et 100 cm) est rectangle d’après la réciproque de Pythagore, car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². On marque 3 unités sur un côté, 4 sur l’autre, et on ajuste jusqu’à mesurer 5 entre les deux repères : l’angle est alors droit. Plus le triangle est grand, plus l’angle est précis. En classe, on présente la même idée avec la corde à treize nœuds.

« Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. » Elle sert à prouver qu’un angle est droit : avec 5, 12 et 13, 5² + 12² = 169 = 13², donc le triangle est rectangle. Si l’égalité est fausse, le triangle n’est pas rectangle (contraposée du théorème).

C’est un triangle qui possède un angle droit, de 90°. Le côté opposé à cet angle est l’hypoténuse, le plus long des trois. Les deux autres côtés, qui forment l’angle droit, s’appellent les côtés de l’angle droit ou cathètes. Les deux autres angles sont aigus et leur somme vaut 90°. Un carré coupé selon une diagonale donne deux triangles rectangles.

Outre a² + b² = c² : l’aire vaut a × b / 2 ; les deux angles aigus sont complémentaires (α + β = 90°) ; cos α = côté adjacent / hypoténuse, sin α = côté opposé / hypoténuse et tan α = côté opposé / côté adjacent ; avec la hauteur h issue de l’angle droit, h = a × b / c, a² = p × c, b² = q × c et h² = p × q. Le calculateur donne toutes ces grandeurs.

À partir des côtés, on utilise la trigonométrie : tan α = côté opposé / côté adjacent, soit α = arctan(a / b), ou encore sin α = opposé / hypoténuse et cos α = adjacent / hypoténuse. Pour a = 3 et b = 4, tan α = 0,75 et α ≈ 36,87° ; l’autre angle aigu vaut 90° − 36,87° ≈ 53,13°. Le calculateur affiche les deux angles.

Cela dépend du triangle. Dans un triangle rectangle, deux côtés suffisent : le théorème de Pythagore donne le troisième, et ce calculateur y ajoute les angles. Dans un triangle quelconque, il faut trois données, par exemple deux côtés et l’angle compris (loi des cosinus) ou un côté et deux angles (loi des sinus) : utilisez le calcul d’un triangle.

Le théorème de Pythagore seul ne suffit pas, car il relie uniquement les côtés. Avec la trigonométrie, un côté et un angle aigu donnent les autres : pour une hypoténuse c = 10 et un angle α = 30°, le côté opposé vaut a = c × sin α = 10 × 0,5 = 5. Saisissez ensuite c = 10 et a = 5 dans ce calculateur : il donne b = √75 ≈ 8,66, l’aire, la hauteur et l’autre angle.

Une démonstration classique compare des aires. On place quatre exemplaires du triangle (côtés a et b, hypoténuse c) dans un grand carré de côté a + b : ils laissent au centre un carré de côté c. L’aire totale (a + b)² vaut donc 4 × a × b / 2 + c², soit a² + 2ab + b² = 2ab + c², d’où a² + b² = c².

C’est un triplet de trois entiers a, b et c tels que a² + b² = c². Les plus connus sont (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) et (20, 21, 29) ; leurs multiples, comme (6, 8, 10), en sont aussi. Le triangle de ces trois côtés est rectangle d’après la réciproque de Pythagore.

C’est la hauteur issue de l’angle droit : la distance, mesurée perpendiculairement, entre le sommet de l’angle droit et l’hypoténuse. Elle vaut h = a × b / c, soit 2,4 pour un triangle de côtés 3, 4 et 5. Elle découpe l’hypoténuse en deux segments p et q tels que h² = p × q.

Dans celle de votre choix, centimètres, mètres ou pouces, à condition d’employer la même pour les trois côtés. Le périmètre et les côtés sont rendus dans cette unité, l’aire dans l’unité carrée correspondante. Aucune conversion n’est faite : pour passer d’une unité à l’autre, voir le convertisseur d’unités.

Il affiche quatre décimales. Le calcul est mené en double précision, sans arrondi intermédiaire, et seul l’affichage arrondit : pour √2, vous lisez 1,4142 alors que la valeur exacte commence par 1,41421356. La précision d’un résultat ne dépasse pas celle de vos mesures : arrondissez-le à la précision de vos données.

Elle calcule le troisième côté d’un triangle rectangle à partir des deux autres avec le théorème de Pythagore, puis en déduit les angles, l’aire, le périmètre et la hauteur. Elle ne traite ni un triangle quelconque (voir le calcul d’un triangle) ni le cas où l’on ne connaît qu’un côté et un angle : il faut alors la trigonométrie, comme dans l’exemple ci-dessus.