Calcul du discriminant d’une équation du second degré

Avec Δ = b² − 4ac : élevez b au carré (entre parenthèses s’il est négatif), retranchez quatre fois le produit de a et de c, puis regardez le signe du résultat. Pour x² − 5x + 6 = 0, Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Dans le calculateur, il suffit de saisir a, b et c.

Δ = b² − 4ac, où a est le coefficient de x², b celui de x et c le terme constant de l’équation ax² + bx + c = 0. Le discriminant sert dans les solutions x = (−b ± √Δ) / (2a). Quand b est pair, la forme réduite utilise Δ′ = (b/2)² − ac.

Il indique le nombre de solutions réelles d’une équation du second degré avant même de les calculer : deux solutions distinctes, une solution double ou aucune. Il intervient sous la racine carrée dans les solutions, et son signe donne la position de la parabole y = ax² + bx + c par rapport à l’axe des abscisses.

Quand Δ = 0, l’équation a une seule solution, dite double : x₀ = −b / (2a). Par exemple, x² − 4x + 4 = 0 a pour discriminant 16 − 16 = 0 et pour solution x₀ = 4 / 2 = 2, car x² − 4x + 4 = (x − 2)². La parabole touche alors l’axe des abscisses en son sommet.

Que l’équation n’a pas de solution réelle : aucun nombre réel ne la vérifie et la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses. Il existe en revanche deux solutions complexes conjuguées, (−b ± i√(−Δ)) / (2a). Pour x² + x + 1 = 0, Δ = 1 − 4 = −3 et les solutions complexes sont (−1 ± i√3) / 2. Le tableau du calculateur ne liste que les solutions réelles.

Le trinôme ax² + bx + c est du signe de a, sauf entre ses racines quand il en a deux. Si Δ < 0, il ne s’annule jamais et garde le signe de a : x² + x + 1 est toujours positif. Si Δ = 0, il est du signe de a et ne s’annule qu’en x₀. Si Δ > 0, il est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire entre x₁ et x₂ : x² − 5x + 6 est négatif entre 2 et 3, nul en 2 et en 3, positif ailleurs. C’est ce que résume le tableau de signes.

C’est une expression de la forme ax² + bx + c avec a différent de zéro, aussi appelée trinôme du second degré : par exemple 2x² − 7x + 3. La fonction x ↦ ax² + bx + c a pour courbe une parabole. L’équation ax² + bx + c = 0 est l’équation du second degré associée, que le discriminant permet de résoudre.

Pour un trinôme, la factorisation dépend du discriminant : si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x₀)² ; si Δ < 0, il n’y a pas de factorisation dans les réels. Les identités remarquables servent aussi : a² − b² = (a − b)(a + b) et a² ± 2ab + b² = (a ± b)².

On choisit l’inconnue, on traduit l’énoncé par une équation, on résout l’équation, puis on vérifie la solution et on répond à la question posée. Exemple : un champ rectangulaire de 30 m de périmètre et de 56 m² d’aire a pour côtés x et 15 − x, avec x(15 − x) = 56, soit x² − 15x + 56 = 0. Δ = 225 − 224 = 1 donne x = 7 ou x = 8 : les côtés mesurent 7 m et 8 m.

On calcule Δ puis, s’il n’est pas négatif, on applique x = (−b ± √Δ) / (2a). Pour 3x² + 12x − 15 = 0, Δ = 144 + 180 = 324, √Δ = 18 et x = (−12 ± 18) / 6, soit 1 et −5. Pour 2x² − 7x + 3 = 0, Δ = 49 − 24 = 25 et x = (7 ± 5) / 4, soit 3 et 1/2.

Quand b est un nombre pair, b = 2b′. On calcule alors Δ′ = b′² − ac, avec des nombres plus petits, et les solutions sont x = (−b′ ± √Δ′) / a. Pour x² − 6x + 8 = 0, b′ = −3, Δ′ = 9 − 8 = 1 et x = 3 ± 1, soit 2 et 4. Δ′ a le même signe que Δ, car Δ = 4Δ′. Le calculateur affiche toujours Δ/4.

Si a = 0, l’équation n’est plus du second degré mais du premier : bx + c = 0, de solution x = −c / b quand b est différent de zéro. La formule du discriminant ne s’applique pas, et le calculateur demande une valeur de a différente de zéro.

Parce qu’il discrimine, c’est-à-dire distingue, les cas : son signe indique si l’équation a deux solutions réelles distinctes, une solution double ou aucune solution réelle. Il est aussi nommé réalisant, et c’est son annulation qui fait coïncider les deux solutions.

Saisissez b entre parenthèses puis élevez-le au carré, et soustrayez 4 × a × c. Les parenthèses comptent : sans elles, −5² est lu −(5²) = −25 par la plupart des calculatrices. Pour a = 1, b = −5 et c = 6, tapez (−5)² − 4 × 1 × 6, ce qui donne 1. Le calculateur ci-dessus fait la même opération et en montre le détail.

Mettez l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et saisissez les trois coefficients avec leur signe, 0 si un terme manque. Lisez le discriminant, le nombre de solutions réelles, les solutions dans le tableau (vide si Δ est négatif) et le détail du calcul sous le résultat. Le bouton « Reprendre l’exemple dans le calculateur » charge l’équation x² − 5x + 6 = 0.