Calcul de probabilité : formules et exemples résolus

Quand tous les cas sont équiprobables, P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Avec un dé équilibré, la probabilité d’obtenir 2 est 1/6. Le résultat est toujours compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). Pour deux événements, on utilise aussi P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) et, s’ils sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, et la probabilité de l’ensemble de tous les résultats vaut 1. Celle d’un événement contraire est 1 moins celle de l’événement. Pour deux événements incompatibles, qui ne peuvent pas se produire ensemble, la probabilité de « A ou B » est la somme des probabilités ; pour deux événements indépendants, la probabilité de « A et B » est leur produit ; dans tous les cas, P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B) : on retranche donc de la somme la probabilité que les deux se produisent.

Divisez le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, puis multipliez par 100 : 1 cas sur 6, c’est 1/6 ≈ 0,1667, soit 16,67 %. Dans l’autre sens, divisez le pourcentage par 100 : 25 % correspondent à 0,25, c’est-à-dire 1/4. Le calculateur affiche la probabilité en pourcentage, en fraction irréductible et en nombre entre 0 et 1.

Partez de situations simples où tous les cas ont la même chance : un dé, une pièce, un jeu de cartes. Comptez les cas possibles, puis les cas favorables, puis divisez. Dessinez un arbre ou un tableau pour ne rien oublier, et vérifiez le résultat avec l’événement contraire : les deux probabilités s’additionnent pour donner 1. Ce calculateur affiche la formule et les étapes pour s’entraîner.

Si vous répétez n fois la même épreuve, avec la probabilité p à chaque fois et des épreuves indépendantes, la probabilité d’obtenir exactement k succès est C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), la loi binomiale. Choisissez « Répétitions », saisissez p en cas favorables sur cas possibles, puis n et k : vous lisez les probabilités d’exactement, d’au moins et d’au plus k succès.

Cela dépend de leur lien. Pour deux événements indépendants, la probabilité que les deux se produisent est le produit : 20 % × 50 % = 10 % ; celle qu’au moins un se produise est 20 % + 50 % − 10 % = 60 %. Pour deux événements incompatibles, la probabilité de A ou B est la somme : 20 % + 50 % = 70 %. Choisissez « Événements indépendants » ou « Événements incompatibles » dans le calculateur.

Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre, comme un dé et une pièce lancés ensemble : un 6 et pile ont pour probabilité 1/6 × 1/2 = 1/12. Ils sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire ensemble, comme « nombre inférieur à 3 » et « nombre supérieur à 4 » pour un dé : la probabilité de l’un ou de l’autre est 2/6 + 2/6 = 2/3.

On passe par l’événement contraire : la probabilité de n’obtenir aucun 6 en un lancer est 5/6, donc (5/6)⁴ = 0,4823 en 4 lancers, et celle d’obtenir au moins un 6 est 1 − 0,4823 = 0,5177, soit 51,77 %. Dans le calculateur, choisissez « Répétitions » avec 1 cas favorable sur 6, 4 répétitions et k = 1, puis lisez « au moins k fois ».

Comptez les cartes favorables et les cartes du jeu. Dans un jeu de 52 cartes, tirer un cœur a pour probabilité 13/52 = 1/4, soit 25 %. Dans un jeu de 32 cartes, avec 4 as, tirer un as a pour probabilité 4/32 = 1/8, soit 12,5 %. Saisissez 13 puis 52, ou 4 puis 32, comme cas favorables et cas possibles.

Comptez les cas avec les combinaisons, car l’ordre ne compte pas. Pour 5 numéros parmi 49, il y a C(49, 5) = 1 906 884 tirages possibles, donc 1 chance sur 1 906 884 de trouver les 5 bons numéros, soit environ 0,00005 %. Saisissez 1 cas favorable et 1 906 884 cas possibles dans le mode « Un événement ».

On en distingue trois. La conception classique, ou a priori, suppose des cas équiprobables et divise les cas favorables par les cas possibles. La conception fréquentiste, ou statistique, estime la probabilité par la fréquence observée sur un grand nombre d’épreuves. La conception subjective traduit un degré de confiance personnel. Les règles de calcul sont les mêmes pour les trois.