Calcul du PPCM (plus petit commun multiple) et du PGCD
MathématiquesChoisissez le nombre de valeurs et saisissez-les : le calculateur donne le plus petit commun multiple, le plus grand commun diviseur et la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre.
Détail du calcul
PPCM(12, 18) = 12 · 18 / 6 = 36
- Facteurs premiers : 12 = 2² · 3 et 18 = 2 · 3².
- On retient pour chaque nombre premier le plus grand exposant : PPCM = 2² · 3² = 36.
- Le PGCD est 6. Vérification : 12 · 18 / 6 = 216 / 6 = 36.
Dès que toutes les valeurs sont valides, chaque étape du calcul s’affiche ici.
Formule
- a, b, c
- les nombres dont vous cherchez le PPCM
- PGCD
- plus grand commun diviseur des deux nombres
- p1, …, pk
- les nombres premiers qui apparaissent comme facteur dans au moins un des nombres
- m1, …, mk
- le plus grand exposant avec lequel ce nombre premier apparaît dans l’un des nombres
Comment fonctionne le calcul
Le plus petit commun multiple (PPCM) de plusieurs entiers est le plus petit nombre strictement positif qui est multiple de chacun d’eux. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24, etc., ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24, etc. Ils ont en commun 12, 24 et tous les multiples de 12 : le plus petit est 12. Son pendant est le plus grand commun diviseur (PGCD) : le plus grand entier qui divise tous les nombres. Le PGCD de 4 et de 6 est 2.
Pour résoudre un PPCM, le calculateur décompose chaque nombre en facteurs premiers, retient chaque facteur premier qui apparaît avec son plus grand exposant et multiplie le tout. Pour 12 = 2² · 3 et 18 = 2 · 3², cela donne 2² · 3² = 36. Pour le PGCD, seuls comptent les nombres premiers présents dans tous les nombres, avec le plus petit exposant : ici 2 · 3 = 6. Avec deux nombres, les deux résultats sont liés par la relation PPCM · PGCD = a · b, soit 36 · 6 = 12 · 18 = 216.
À la main, on peut aussi procéder sans décomposer. On écrit les multiples du plus grand nombre, par exemple 18, 36, 54, et l’on cherche le premier que les autres nombres divisent : c’est le PPCM. Si un nombre divise l’autre, le PPCM est le plus grand des deux ; si deux nombres sont premiers entre eux, c’est-à-dire sans autre diviseur commun que 1, le PPCM est leur produit, par exemple PPCM(3, 5) = 15.
Le PPCM sert surtout à additionner et à soustraire des fractions : le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun, celui qu’utilise le calcul de fractions. Il sert aussi aux phénomènes qui se répètent : deux bus qui partent toutes les 12 et toutes les 18 minutes repartent ensemble au bout de 36 minutes. Le calcul du PGCD donne le plus grand commun diviseur par les divisions d’Euclide. Les nombres doivent être des entiers de 1 à 1 000 000 ; au-delà de 9 007 199 254 740 991, le PPCM ne peut plus être affiché exactement et le calculateur le signale.
À propos de la formule
Un multiple d’un nombre contient tous ses facteurs premiers. Un multiple commun doit donc contenir chaque nombre premier au moins autant de fois qu’il apparaît dans le nombre où son exposant est le plus grand. Le plus petit commun multiple prend exactement cet exposant, et rien de plus.
On en déduit que le PPCM de a et de b s’obtient en divisant leur produit a · b par leur PGCD : dans le produit, les facteurs communs apparaissent deux fois, et la division par le PGCD ne laisse, pour chaque nombre premier, que la plus grande des deux puissances. Avec plus de deux nombres, on applique la relation pas à pas, puisque PPCM(a, b, c) = PPCM(PPCM(a, b), c).
Exemple de calcul
Quel est le PPCM de 12, 18 et 30 ?
- Facteurs premiers : 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² et 30 = 2 · 3 · 5.
- Le plus grand exposant de chaque nombre premier : 2² (dans 12), 3² (dans 18) et 5 (dans 30).
- Le PPCM est 2² · 3² · 5 = 180. Le PGCD est 6, car seuls 2 et 3 figurent dans les trois nombres, une fois chacun.
Le PPCM de 12, 18 et 30 est 180. Le PGCD est 6.
Reprendre l’exemple dans le calculateurQuestions fréquentes
Comment résoudre un PPCM ?
On décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis on multiplie tous les nombres premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant. Pour 20 = 2² · 5 et 30 = 2 · 3 · 5, le PPCM est 2² · 3 · 5 = 60. Le PGCD, lui, ne garde que les nombres premiers communs à tous, avec le plus petit exposant : 2 · 5 = 10.
Qu’est-ce que le PPCM ?
Le PPCM, plus petit commun multiple, de plusieurs entiers est le plus petit entier strictement positif qui est multiple de chacun d’eux ; en anglais, on parle de lcm, pour least common multiple. Le PPCM de 4 et de 6 est 12, car 12 est le premier nombre qui figure à la fois parmi les multiples de 4 et de 6.
Quel est le plus petit commun multiple (P.P.C.M.) de 12 et 18 ?
C’est 36. Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48 et ceux de 18 sont 18, 36, 54 : le premier en commun est 36. Avec les facteurs premiers, 12 = 2² · 3 et 18 = 2 · 3², donc PPCM = 2² · 3² = 36, et le PGCD est 2 · 3 = 6.
Quel est le PPCM de 9 et 21 ?
C’est 63. On a 9 = 3² et 21 = 3 · 7, donc PPCM = 3² · 7 = 63. Le PGCD de 9 et de 21 est 3 : on retrouve le résultat par 9 · 21 / 3 = 189 / 3 = 63.
Quel est le PPCM de 18 et 24 ?
C’est 72. On a 18 = 2 · 3² et 24 = 2³ · 3, donc PPCM = 2³ · 3² = 72. Le PGCD est 2 · 3 = 6, et la relation donne bien 18 · 24 / 6 = 432 / 6 = 72.
Quel est le PPCM de 3 et de 7, ou de deux nombres premiers entre eux ?
Le PPCM de 3 et de 7 est 21. Quand le PGCD vaut 1, c’est-à-dire quand les nombres sont premiers entre eux, le PPCM est leur produit : PPCM(3, 5) = 15 et PPCM(7, 9) = 63.
Quel est le plus petit commun multiple de 2, 3, 4 et 5 ?
C’est 60. Seul 4 n’est pas premier, 4 = 2² ; on prend pour chaque nombre premier le plus grand exposant, donc PPCM = 2² · 3 · 5 = 60. Le 2 n’ajoute rien, car il divise 4. Dans le calculateur, choisissez « 4 nombres » et saisissez-les.
Quel est le PPCM de 4, 12, 10 et 9 ?
C’est 180. Les facteurs premiers sont 4 = 2², 12 = 2² · 3, 10 = 2 · 5 et 9 = 3², et l’on garde 2² (dans 4 et dans 12), 3² (dans 9) et 5 (dans 10) : PPCM = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180. Le 4 ne change rien, car il divise 12.
Quelle est la relation entre le PPCM et le PGCD ?
Pour deux nombres a et b, le produit a · b est égal au produit de leur PPCM et de leur PGCD. On obtient donc le PPCM en divisant a · b par le PGCD : pour 8 et 12, le PGCD est 4 et le PPCM est 8 · 12 / 4 = 24. Avec plus de deux nombres, la relation simple ne vaut plus : on procède deux à deux ou par les facteurs premiers.
Peut-on calculer le PPCM de plus de deux nombres ?
Oui. Avec les facteurs premiers, rien ne change : on garde pour chaque nombre premier le plus grand exposant rencontré dans un quelconque des nombres. Pour 6, 8 et 10, on retient 2³ (dans 8), 3 (dans 6) et 5 (dans 10), donc PPCM = 8 · 3 · 5 = 120. Pas à pas, PPCM(6, 8) = 24, puis PPCM(24, 10) = 120. Le calculateur accepte de deux à cinq nombres.
Quand utilise-t-on le PPCM dans la vie réelle ?
On l’utilise pour trouver le dénominateur commun quand on additionne ou soustrait des fractions, et pour caler des événements qui se répètent à des rythmes différents : deux bus qui partent toutes les 12 et toutes les 18 minutes se retrouvent au bout de 36 minutes. Le PGCD sert, lui, à simplifier une fraction : 36/60 devient 3/5 en divisant par 12.
Quelle différence entre PPCM et PGCD ?
Le PPCM est le plus petit multiple commun, le PGCD le plus grand diviseur commun. Le PPCM est toujours supérieur ou égal au plus grand des nombres, le PGCD toujours inférieur ou égal au plus petit. Pour 12 et 18, le PPCM est 36 et le PGCD est 6. Pour le PGCD seul, avec les divisions d’Euclide pas à pas, utilisez le calcul du PGCD.
Pourquoi le calculateur refuse-t-il zéro et les nombres négatifs ?
Zéro est multiple de tous les entiers, mais aucun multiple commun strictement positif n’existe avec 0 : par convention, le PPCM est alors nul, un cas sans intérêt pratique, donc seuls les entiers de 1 à 1 000 000 sont acceptés. Pour un nombre négatif, on prend sa valeur absolue : PPCM(−4, 6) = PPCM(4, 6) = 12.
- Euclide, Éléments, livre VII, proposition 34 (le plus petit nombre mesuré par deux nombres donnés), édition de D. Joyce (Clark University)
- Plus petit commun multiple (Wikipédia)
- Plus grand commun diviseur (Wikipédia)