Calcul de matrice : déterminant, inverse et produit

Avec la règle de Sarrus : additionnez les produits des trois diagonales descendantes (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) et retranchez ceux des trois diagonales montantes (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃). Pour la matrice de lignes (0 1 2), (3 2 1) et (1 1 0), on obtient 7 − 4 = 3. On peut aussi développer par rapport à une ligne ou une colonne, avec les signes du damier.

Multipliez les coefficients de la diagonale principale et retranchez le produit des deux autres : det = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Pour les lignes (1 2) et (3 4), cela donne 1 · 4 − 2 · 3 = −2. Ce nombre est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les deux vecteurs colonnes.

Le déterminant de la matrice identité vaut 1 et une matrice a le même déterminant que sa transposée. Pour deux matrices de même taille, det(A · B) = det A · det B ; pour une matrice n×n, det(k · A) = kⁿ · det A. Échanger deux lignes change le signe ; deux lignes égales ou une ligne nulle donnent 0. Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne le change pas. Pour une matrice triangulaire, c’est le produit des coefficients de la diagonale.

Quand son déterminant est nul : une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. La matrice de lignes (1 2) et (2 4) a pour déterminant 1 · 4 − 2 · 2 = 0, donc pas d’inverse ; on dit qu’elle est singulière. Le calculateur le signale alors par un message.

Pour une matrice 2x2, A⁻¹ = 1 / (a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁) · (a₂₂ −a₁₂ | −a₂₁ a₁₁) : on échange a₁₁ et a₂₂, on change le signe de a₁₂ et a₂₁, puis on divise par le déterminant. Pour (1 2 ; 3 4), cela donne 1/(−2) · (4 −2 ; −3 1) = (−2 1 ; 1,5 −0,5). Pour une matrice 3x3, on divise la transposée de la comatrice par le déterminant ; la méthode du pivot de Gauss conduit aussi à l’inverse.

Chaque coefficient du produit A · B est la somme des produits d’une ligne de A par une colonne de B. Ici, les deux matrices ont la même taille. L’ordre compte : en général, A · B est différent de B · A. Ainsi (1 2 ; 3 4) · (5 6 ; 7 8) = (19 22 ; 43 50), alors que (5 6 ; 7 8) · (1 2 ; 3 4) = (23 34 ; 31 46).

Elle est associative : (A · B) · C = A · (B · C), et distributive sur l’addition : A · (B + C) = A · B + A · C. Elle n’est pas commutative en général. La matrice identité I est neutre : A · I = I · A = A. De plus det(A · B) = det A · det B, (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ et, si A et B sont inversibles, (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹. Un produit peut être nul sans qu’aucune des deux matrices le soit.

On ne le peut pas : le produit A · B n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Une matrice 2x3 peut être multipliée par une matrice 3x2 (le résultat est 2x2), mais pas par une matrice 2x2. Le calculateur n’accepte que deux matrices carrées de même taille, 2x2 ou 3x3, dont le produit existe toujours.

Un vecteur colonne est une matrice à une colonne : chaque composante du résultat est le produit d’une ligne de A par le vecteur. Avec A = (1 2 ; 3 4) et v = (5 ; 6), on obtient (1 · 5 + 2 · 6 ; 3 · 5 + 4 · 6) = (17 ; 39). Avec ce calculateur, saisissez le vecteur dans la première colonne de B et des zéros ailleurs : la première colonne du produit est A · v.

Multipliez chaque coefficient par le scalaire : 3 · (1 2 ; 3 4) = (3 6 ; 9 12). Le déterminant est alors multiplié par kⁿ pour une matrice n×n, soit 3² · (−2) = −18 ici. Avec ce calculateur, saisissez k sur la diagonale de B et des zéros ailleurs : le produit A · B est égal à k · A.

Pour une matrice carrée, Aⁿ est le produit de n matrices A. Pour (1 2 ; 3 4), A² = A · A = (7 10 ; 15 22). Avec ce calculateur, saisissez A dans A et dans B, puis recommencez avec le résultat pour A³, A⁴ et ainsi de suite. Pour un grand n, on diagonalise la matrice quand c’est possible : si A = P · D · P⁻¹ avec D diagonale, alors Aⁿ = P · Dⁿ · P⁻¹.

Parce que la puissance d’une matrice diagonale est immédiate : il suffit d’élever chaque coefficient diagonal à la puissance n. Si A = P · D · P⁻¹, on a Aⁿ = P · Dⁿ · P⁻¹, ce qui évite n − 1 produits de matrices. Cela suppose que A soit diagonalisable ; le calculateur ne diagonalise pas, il n’affiche ni valeurs propres ni vecteurs propres.

A⁻ⁿ est la puissance n de l’inverse : A⁻ⁿ = (A⁻¹)ⁿ. Elle n’existe donc que si le déterminant de A est non nul. Pour (1 2 ; 3 4), l’inverse est (−2 1 ; 1,5 −0,5) et A⁻² = (5,5 −2,5 ; −3,75 1,75). Avec ce calculateur, obtenez d’abord l’inverse, puis multipliez-la par elle-même.

Une racine carrée de A est une matrice X telle que X · X = A. Si A est diagonalisable avec des valeurs propres positives, X = P · D^(1/2) · P⁻¹. Une racine n’est pas unique et peut ne pas exister : la matrice identité 2x2 a notamment pour racines I, −I et (0 1 ; 1 0). Ce calculateur ne calcule pas de racines de matrice, mais permet de vérifier un candidat X en calculant X · X.

On passe par la diagonalisation : si A = P · D · P⁻¹ avec des valeurs propres strictement positives, alors Aᵗ = P · Dᵗ · P⁻¹ pour tout réel t, par exemple t = 1/2 pour une racine carrée. En général, on utilise l’exponentielle et le logarithme de matrice. Ce calculateur ne traite que les produits, les inverses et les déterminants de matrices 2x2 et 3x3.

La règle de Sarrus ne vaut que pour les matrices 3x3. Pour une matrice 4x4, on développe par rapport à une ligne ou une colonne (en se ramenant à des déterminants 3x3), ou l’on échelonne la matrice par le pivot de Gauss et l’on multiplie les coefficients diagonaux, en changeant le signe à chaque échange de lignes. Ce calculateur se limite aux matrices 2x2 et 3x3.

Des matrices carrées de taille 2x2 et 3x3 à coefficients réels : le déterminant, l’inverse et le produit de deux matrices de même taille. Il ne propose ni valeurs propres, ni rang, ni transposition, ni addition, ni matrices plus grandes.