Convertisseur binaire décimal : convertir un décimal en binaire
MathématiquesChoisissez le sens de la conversion et saisissez le nombre : pour le binaire, n’utilisez que les chiffres 0 et 1. Le convertisseur affiche le résultat, puis le même nombre par groupes de 4 bits, en hexadécimal et en octal ; un tableau donne les nombres les plus courants.
Détail du calcul
1010 en base 2 = 10 en base 10
- Chaque chiffre vaut une puissance de 2, de la droite vers la gauche : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
- On additionne les puissances de 2 des rangs où figure un 1 : 1010 vaut 10 en décimal.
- Le même nombre par groupes de 4 bits s’écrit 1010, en hexadécimal A et en octal 12.
Dès que toutes les valeurs sont valides, chaque étape du calcul s’affiche ici.
Formule
- N
- le nombre en base 10
- b₀, b₁, b₂
- les chiffres binaires (0 ou 1), numérotés de la droite vers la gauche à partir de 0
- q, r
- quotient et reste de la division de N par 2, à répéter sur le quotient jusqu’à obtenir 0
Comment fonctionne le calcul
Le système décimal utilise dix chiffres (de 0 à 9) et chaque rang vaut une puissance de 10 : 1, 10, 100… Le système binaire est un système de numération de position en base 2 : il n’emploie que les chiffres 0 et 1, et chaque rang, de la droite vers la gauche, vaut une puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… Pour convertir du binaire en décimal, on additionne les puissances de 2 des rangs où figure un 1 : 1100100 = 64 + 32 + 4 = 100.
Pour convertir du décimal en binaire, on divise le nombre par 2 en notant le reste (0 ou 1), puis on divise le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu’à obtenir 0. Les restes, lus du dernier au premier, sont les chiffres du nombre binaire : 100 devient 1100100. Le convertisseur fait le même calcul et donne aussi le nombre en hexadécimal (base 16, chaque chiffre vaut 4 bits) et en octal (base 8, chaque chiffre vaut 3 bits).
Le champ binaire lit les chiffres comme un nombre ordinaire : il accepte de 0 à 1111111111111111, soit 16 chiffres binaires (de 0 à 65 535 en décimal), et uniquement des 0 et des 1. Le champ décimal accepte tout entier jusqu’à 9 007 199 254 740 991, soit 53 chiffres en binaire. Les nombres à virgule et les nombres négatifs ne sont pas traités : la foire aux questions explique comment les convertir à la main. Pour les fractions, voyez le calcul de fractions.
À propos de la formule
Le rang compte comme en décimal : dans 1100100, le premier chiffre à gauche pèse 2⁶ = 64, le deuxième 2⁵ = 32, le cinquième 2² = 4, et les autres valent zéro. Chaque chiffre binaire est un bit ; huit bits forment un octet et représentent 256 nombres, de 0 à 255. Avec n bits, on représente les nombres de 0 à 2ⁿ − 1.
L’informatique emploie le binaire parce que les circuits numériques distinguent facilement deux niveaux de tension, associés à 0 et à 1. L’hexadécimal est pratique parce qu’un chiffre correspond exactement à 4 bits : 143 s’écrit 1000 1111 en binaire et 8F en hexadécimal.
Exemple de calcul
Comment s’écrit 100 en binaire ?
- Divisions par 2 : 100 : 2 = 50 reste 0, 50 : 2 = 25 reste 0, 25 : 2 = 12 reste 1, 12 : 2 = 6 reste 0, 6 : 2 = 3 reste 0, 3 : 2 = 1 reste 1, 1 : 2 = 0 reste 1.
- On lit les restes du dernier au premier : 1100100, soit 0110 0100 par groupes de 4 bits.
- Vérification : 64 + 32 + 4 = 100. En hexadécimal, le nombre s’écrit 64 ; en octal, 144.
Le nombre décimal 100 s’écrit 1100100 en binaire, 64 en hexadécimal et 144 en octal.
Reprendre l’exemple dans le calculateurQuestions fréquentes
Comment convertir du binaire en décimal ?
On multiplie chaque chiffre par la puissance de 2 de son rang (depuis la droite, en partant de 2⁰) et l’on additionne. Pour 1001, 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 9. En pratique, il suffit d’additionner les puissances de 2 des chiffres égaux à 1.
Comment convertir du décimal en binaire ?
On divise le nombre par 2 en notant le reste, puis le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu’à un quotient nul. Les restes, lus du dernier au premier, forment le nombre binaire. Pour 13 : 13 : 2 = 6 reste 1, 6 : 2 = 3 reste 0, 3 : 2 = 1 reste 1, 1 : 2 = 0 reste 1, donc 13 s’écrit 1101.
Comment s’écrit 12 en binaire ?
12 s’écrit 1100 en binaire : 8 + 4 = 12. Par divisions successives, 12 : 2 = 6 reste 0, 6 : 2 = 3 reste 0, 3 : 2 = 1 reste 1, 1 : 2 = 0 reste 1, d’où 1100. En hexadécimal, 12 s’écrit C.
Comment s’écrit 47 en binaire ?
47 s’écrit 101111 en binaire : 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47. Par groupes de 4 bits, 0010 1111, et en hexadécimal 2F.
Comment convertir 192 en binaire ?
192 s’écrit 11000000 en binaire : 128 + 64 = 192, avec six zéros à droite. Par groupes de 4 bits, 1100 0000, et en hexadécimal C0. Ce nombre est le premier octet d’une adresse réseau privée comme 192.168.1.1.
Comment convertir 0,75 en binaire ?
La partie décimale se multiplie par 2 plusieurs fois, en notant la partie entière obtenue : 0,75 × 2 = 1,5 (chiffre 1), 0,5 × 2 = 1,0 (chiffre 1). Donc 0,75 s’écrit 0,11 en binaire (1/2 + 1/4). Beaucoup de décimaux, comme 0,1, ont une infinité de chiffres en binaire. Ce convertisseur traite seulement les nombres entiers.
Combien vaut 1010 en décimal ?
1010 en binaire vaut 10 en décimal : 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 8 + 2 = 10. Dans l’autre sens, 10 s’écrit 1010 en binaire.
Combien vaut 11111111 en décimal ?
Il vaut 255. Les huit chiffres égaux à 1 donnent 2⁸ − 1 = 255, le plus grand nombre qui s’écrit sur 8 bits, c’est-à-dire sur un octet.
Comment convertir du décimal en hexa ?
On divise le nombre par 16 en notant les restes (de 0 à 15, avec A pour 10 jusqu’à F pour 15), puis on lit les restes du dernier au premier : 255 = 15 · 16 + 15, soit FF. Le plus simple passe par le binaire : on regroupe les bits par 4 depuis la droite, 1000 1111 devient 8F, soit 143 en décimal. Le convertisseur affiche déjà l’hexadécimal.
À quoi sert l’hexadécimal ?
Il écrit les nombres binaires de façon compacte : un chiffre hexadécimal remplace exactement 4 bits, donc un octet tient en deux chiffres (de 00 à FF). On le rencontre dans les couleurs du web (#FF0000 est le rouge), les adresses mémoire et les adresses MAC.
Quelle différence entre octal et hexadécimal ?
L’octal est en base 8 : un chiffre (de 0 à 7) remplace 3 bits. L’hexadécimal est en base 16 : un chiffre (de 0 à 9 puis de A à F) remplace 4 bits. 100 vaut 144 en octal et 64 en hexadécimal. L’hexadécimal est plus courant, parce qu’un octet correspond à deux chiffres.
Pourquoi les nombres binaires deviennent-ils si vite grands ?
Parce que chaque bit supplémentaire double la valeur maximale : 4 bits vont jusqu’à 15, 8 bits jusqu’à 255, 16 bits jusqu’à 65 535. Un nombre décimal de 3 chiffres comme 255 demande déjà 8 chiffres en binaire, car il faut environ 3,3 bits pour représenter un chiffre décimal.
Comment écrit-on un nombre négatif en binaire ?
Le plus souvent en complément à deux : on inverse les bits du nombre positif et l’on ajoute 1. Sur 8 bits, 5 s’écrit 00000101 et −5 s’écrit 11111011. Avec n bits, on représente de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ − 1, par exemple de −128 à +127 sur 8 bits. Ce convertisseur ne traite que des nombres sans signe.
Qu’est-ce qu’un convertisseur de bases numériques ?
C’est un outil qui écrit un même nombre dans une autre base : décimal (base 10), binaire (base 2), octal (base 8) ou hexadécimal (base 16). Le nombre ne change pas, seule son écriture change : 100 en décimal, 1100100 en binaire, 144 en octal et 64 en hexadécimal.
Quel est le plus grand nombre binaire que je peux saisir ?
Le champ binaire accepte jusqu’à 16 chiffres, soit 1111111111111111, qui vaut 65 535 en décimal : les chiffres sont lus comme un nombre ordinaire et perdraient de la précision au-delà. Le champ décimal va jusqu’à 9 007 199 254 740 991, soit 53 chiffres égaux à 1 en binaire.
- Système binaire (Wikipédia)
- Système hexadécimal (Wikipédia)
- Système octal (Wikipédia)
- Complément à deux (Wikipédia)