Calcul du coefficient directeur d’une droite
MathématiquesSaisissez les coordonnées de deux points A et B de la droite. Le calculateur donne le coefficient directeur, l’ordonnée à l’origine, l’équation réduite y = mx + p et l’angle de la droite avec l’axe des abscisses.
Détail du calcul
m = (9 − 3) / (4 − 1) = 2
- Écarts : yB − yA = 9 − 3 = 6 et xB − xA = 4 − 1 = 3.
- Coefficient directeur : m = 6 / 3 = 2.
- Ordonnée à l’origine : p = 3 − 2 × 1 = 1.
- Équation réduite : y = 2x + 1. Angle avec l’axe des abscisses : arctan(2) = 63,43°.
Dès que toutes les valeurs sont valides, chaque étape du calcul s’affiche ici.
Formule
- m
- coefficient directeur (pente) de la droite, sans unité
- p
- ordonnée à l’origine : la valeur de y quand x = 0
- xA, yA
- coordonnées du point A
- xB, yB
- coordonnées du point B, avec x_B différent de x_A
- θ
- angle de la droite avec l’axe des abscisses, en degrés
Comment fonctionne le calcul
Le coefficient directeur d’une droite, aussi appelé pente ou coefficient angulaire, est le nombre m qui dit de combien y varie quand x augmente de 1. Pour la droite qui passe par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB), il vaut m = (yB − yA) / (xB − xA), à condition que la droite ne soit pas parallèle à l’axe des ordonnées. Si l’on monte en parcourant la droite de la gauche vers la droite, m est positif ; si l’on descend, il est négatif ; une droite horizontale a pour coefficient directeur 0.
L’ordonnée à l’origine p est la valeur de y quand x = 0, c’est-à-dire l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées. Pour la trouver, on remplace x et y par les coordonnées d’un des deux points dans l’équation y = mx + p, ce qui donne p = yA − m × xA. L’équation réduite est alors y = mx + p. Certains manuels écrivent y = ax + b, avec a le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine : c’est la même équation avec d’autres lettres, et la réponse à la question « comment calculer b ».
L’angle que la droite fait avec l’axe des abscisses se déduit du coefficient directeur : m = tan θ, donc θ = arctan(m), dans un repère orthonormé. Une pente de 1 donne 45°, une pente de 2 environ 63,43°, et une pente négative donne un angle négatif. Si xA = xB, la droite est verticale : sa pente n’est pas définie, le calculateur le signale, et son équation est x = xA. Deux points identiques, enfin, ne déterminent aucune droite.
Pour un calcul dans un tableur, les fonctions PENTE(y connus ; x connus) et ORDONNEE.ORIGINE(y connus ; x connus) renvoient le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une série de points. Pour une pente exprimée en pourcentage de dénivelé, comme celle d’une route, d’un toit ou d’une rampe, voir le calcul de pente ; pour une distance entre deux points, le théorème de Pythagore ; pour une variation en pourcentage, le calcul de pourcentage.
À propos de la formule
Prenons A(1 ; 3) et B(4 ; 9). L’écart des ordonnées est 9 − 3 = 6 et celui des abscisses 4 − 1 = 3, donc m = 6 / 3 = 2. L’ordonnée à l’origine est p = 3 − 2 × 1 = 1, et l’équation réduite y = 2x + 1. Le point B vérifie bien l’équation : 2 × 4 + 1 = 9. Le résultat ne dépend pas de l’ordre des points : échanger A et B change le signe des deux écarts, donc pas leur quotient.
Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles. Dans un repère orthonormé, deux droites dont les coefficients directeurs ont pour produit −1 sont perpendiculaires. Le calculateur affiche les nombres avec quatre décimales au plus ; l’angle est donné en degrés, positif quand la droite monte et négatif quand elle descend.
Exemple de calcul
Quel est le coefficient directeur de la droite qui passe par A(1 ; 3) et B(4 ; 9) ?
- Écart des ordonnées : 9 − 3 = 6. Écart des abscisses : 4 − 1 = 3.
- Coefficient directeur : m = 6 / 3 = 2.
- Ordonnée à l’origine : p = 3 − 2 × 1 = 1. L’équation est donc y = 2x + 1, et l’angle avec l’axe des abscisses de 63,43°.
La droite qui passe par A(1 ; 3) et B(4 ; 9) a pour coefficient directeur 2 et pour équation y = 2x + 1. Elle est croissante et fait un angle de 63,43° avec l’axe des abscisses.
Reprendre l’exemple dans le calculateurQuestions fréquentes
Comment calculer le coefficient directeur d’une droite avec deux points ?
Soustrayez les ordonnées et les abscisses des deux points et divisez : m = (yB − yA) / (xB − xA). Pour A(1 ; 3) et B(4 ; 9), m = (9 − 3) / (4 − 1) = 2. La formule demande que les abscisses soient différentes, sinon la droite est verticale et n’a pas de coefficient directeur.
Comment calculer le coefficient directeur ?
Le coefficient directeur se calcule avec deux points de la droite : c’est le rapport de la variation des ordonnées à la variation des abscisses. Il se lit aussi sur l’équation réduite y = mx + p, où il est le nombre qui multiplie x : la droite y = 2x + 1 a pour coefficient directeur 2.
Comment calculer b dans y = ax + b ?
Calculez d’abord a, le coefficient directeur, avec deux points, puis remplacez x et y par les coordonnées de l’un d’eux : b = y − a × x. Avec A(1 ; 3) et a = 2, on a b = 3 − 2 × 1 = 1. C’est l’ordonnée à l’origine, notée p dans la forme y = mx + p.
Comment trouver le coefficient directeur sur Excel ?
Saisissez les abscisses dans une colonne et les ordonnées dans une autre, puis écrivez =PENTE(plage des y ; plage des x) pour le coefficient directeur et =ORDONNEE.ORIGINE(plage des y ; plage des x) pour l’ordonnée à l’origine. Avec deux points seulement, le résultat est celui de la droite exacte qui les relie.
Que signifie un coefficient directeur positif, négatif ou nul ?
Positif : la droite monte quand on la parcourt de la gauche vers la droite. Négatif : elle descend. Nul : elle est horizontale. Plus la valeur absolue est grande, plus la droite est raide : une pente de 3 est plus raide qu’une pente de 1 (angle d’environ 71,6° contre 45°).
Quel est le coefficient directeur d’une droite verticale ?
Il n’existe pas : la formule diviserait par zéro, puisque les deux abscisses sont égales. On dit que la pente n’est pas définie, ou parfois infinie. Une droite verticale n’a pas d’équation de la forme y = mx + p mais x = c, où c est l’abscisse commune des points.
Comment trouver l’équation d’une droite passant par deux points ?
Calculez m = (yB − yA) / (xB − xA), puis p = yA − m × xA, et écrivez y = mx + p. Pour A(1 ; 3) et B(4 ; 9), on obtient m = 2 et p = 1, donc y = 2x + 1. Vérifiez avec l’autre point : 2 × 4 + 1 = 9.
Quel angle correspond à un coefficient directeur ?
L’angle θ avec l’axe des abscisses vérifie m = tan θ, donc θ = arctan(m). Une pente de 1 donne 45°, une pente de 2 environ 63,4°, une pente de 0,5 environ 26,6°. Une pente négative donne un angle négatif : −1 correspond à −45°.
Comment lire le coefficient directeur sur un graphique ?
Choisissez deux points de la droite aux coordonnées faciles à lire, puis comptez de combien la droite monte (ou descend) quand on avance horizontalement d’une unité. Si elle monte de 2 carreaux pour un carreau vers la droite, m = 2 ; si elle descend de 3 pour 2, m = −3 / 2 = −1,5.
Comment savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Dans un repère orthonormé, elles sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1 : les droites de pentes 2 et −1 / 2 sont perpendiculaires.